抗告訴訟は肢３の解説を検討していただくとして、
ここでは、機関訴訟のみ解説を試みます。
行政事件訴訟法 第６条 （機関訴訟）は
１ 「国の機関相互間」における権限の存否又はその行使に関する紛争についての訴訟。
２ 「公共団体の機関相互間」における権限の存否又はその行使に関する紛争についての訴訟。
上記２つの事項を一つの条文にまとめています。
これを下記問題文に当てはめ考察すると
「A県が保管する国の文書について、A県知事が県情報公開条例に基づき公開の決定をした場合において、国が当該決定の取消しを求める訴訟は、機関訴訟である。」
条文の主語に注意すれば、「国」も「Ａ県（地方公共団体）」も別個の行政主体（外部関係）であり機関相互の関係（内部関係）には立ちません、よって（内部関係を対象としている）機関訴訟の対象外なのです。
地方公共団体における機関訴訟の典型例
地方自治法１７６条７項に規定されている。地方公共団体の長と議との間での訴訟。
行政書士試験での機関訴訟はこの程度の知識でよいのでは、機関訴訟等の行政法理論（特に行政の内部関係と外部関係に関する理論）は非常に難解であり、試験対策上は必要がありません。
前半部分「機関訴訟について」の可否については行政事件訴訟法42条によって出来ないと思います。
第四十二条 民衆訴訟及び機関訴訟は、法律に定める場合において、法律に定める者に限り、提起することができる。
つまり、「法律に定める場合において、法律に定める者に限り、提起することができる」のであって、該当する法律がないので、【公開する権限の存否、公開する権限の行使に関する紛争】であっても、機関訴訟には該当しないということです。
後半部分「取消訴訟が正答になる点」を含めてですが、【平30-18 肢３】は【平24-21-4】を基に設定を代えて出題されていると思われます。参考にして下さい。
【平24-21-4】
問題文
4. A市情報公開条例に基づき、A市長が国の建築物の建築確認文書について公開する旨の決定をした場合、当該決定について不服を有する国がこの決定に対して取消訴訟を提起しても、当該訴訟は法律上の争訟に該当しないとして却下されることになる。
解説
4.誤り。
那覇市情報公開条例に基づき、A市長が国の建築物の建築確認文書について公開する旨の決定をし、当該決定に対して国が取消訴訟を提起した事案で、控訴審（福岡高那覇支判平成8年9月24日）は、当該訴訟は法律上の争訟に該当しないとして却下したが、上告審（最判平成13年7月13日）は、公開されると本件建物の所有者として有する固有の利益が侵害されるから法律上の争訟に当たるとした。ただし、その結論は、本公開条例は国の主張している利益を個別的利益として保護する趣旨を含まないから、原告適格はないとして不適法としている。
regal support challengerさま、tonchanさま
ご回答、有り難うございます。
試験に合格することに集中した学習でこそ、試験対策です。見失わない様、注意します。