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こんにちは。
たしかに、旧法の「異議申立て」は、「再調査の請求」に引き継がれた形ですが、実質はかなり異なっているので、同じように考えない方がいいと思いますよ。
一番の違いは、かなり範囲が狭まったということです。「異議申立てができない」ということではなくて、「異議申立てよりも強力な審査請求をする」ことが原則になったからです（異議申し立ては、処分庁＝決定をした人に文句を言う仕組みですが、自分の決定をそうそう反省するわけがありません。それよりも、上級庁など（エラい人）に「審査請求」して、あんたの部下の○○がやったアレはおかしいから決定を代えさせて、と訴える仕組みを使った方が、お互いに時間短縮になるでしょう）。
なお、第57条はそれを条文にしたもので、「あまり有効でない（処分庁への）再調査で、しかも3か月もたっているのなら、さっさと（上の役場に）審査請求したら？と、請求者に再確認してあげること」という、役場向けの法律だと思っています。

なお、私見ですが、新法では「再調査」は国税などに残っているだけで、実質的には「審査請求」一本に統一されたイメージですので、再調査に関しては一通り理解しておけばあまり深く突っ込まなくていいのではないか、と思っています。
ちょっと楽に書きすぎましたが、わかりにくければ再質問してください。