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こんにちは。
ざっくりですが、pomさんの言葉に沿って書いてみます。
申請＝「○○をしたいので、役場の許可を下さい」
不作為にかかる処分なし＝「許可とも不許可とも連絡無し」
相当期間未経過＝「申請したばっかりで、日数経ってない」
不作為の審査請求＝「早く許可か不許可かハッキリしてくれ」
却下裁決＝「あなたの不満は、認められませんでした」
という流れですね。

却下裁決もいろいろですが、「相当期間」に関して言えば、先週申請したばっかりなのに、今週になって「遅い」と怒って審査請求しても、「まだ、申請したばっかやろ。アンタのだけ遅いワケじゃなくて、ふつうでもこのくらいかかるで」といって「却下」されたわけです。だから、相当期間が過ぎてまだ処分（許可or不許可）が出ない場合は、改めて審査請求することもできます。

「相当期間」は、考えても意味無いです。試験で「このくらい経てば、相当期間か」という問題は出ないからです。また、許認可によって、たとえば「標準処理期間」が定められており、１週間で終わる申請と２ヶ月かかる申請がありますから、○日で相当期間、というのは無理です。「普通は１週間の審査が１ヶ月経っても終わらない」なら、１ヶ月が相当期間かもしれませんが、「普通でも２ヶ月かかる審査を、急いで欲しいので１ヶ月で催促したが返事がない」のなら、ただのワガママなので最低でも２ヶ月の期間を過ぎなければ審査請求しても「却下」されるでしょう。

そんな感じです。抜けてるところがあれば改めてご質問ください。