こんにちは。
私なりの解釈ですが、簡略的に。
「その登記がないことを主張することができない」という文言がとてもややこしいですよね。
この問題文と条文を組み合わせて読むと、「その登記」とは、Ｇは委任を受けた第三者（法定代理人や司法書士等）ですので「Ｆ→Ａに登記ないのだから、甲不動産は私のものだ！」と言えないという事です。
Ｇは登記を信頼関係の上、委任されてるのに勝手にそんな事できないですよね。（悪い人はともかく）
だからＡはＧに登記がなくても対抗できるという事です。
なので１の解釈でよいかと思います。
２については、「他人のために登記を申請する義務を負う第三者」なのでＧはＡの登記の欠缺を主張できません。
その他、補正があれば追加等宜しくお願いします。
こんにちは
不登法出てくるんか…と結構面食らっておりますが…
不登法の規定知らなくとも説明はつきますです。（後述）
１．について
その通りです。
1.の理由および2.について
民法177条思い出してください。
177条 不動産に関する物権の得喪及び変更は、不動産登記法その他の登記に関する法律の定めるところに従いその登記をしなければ、第三者に対抗することができない。
この177条の「第三者」に関連して、有名なのが第三者であっても「背信的悪意者」に当たれば保護に値しないよ、という判例（学説）です。
「「第三者」は悪意でも保護されるが、悪意者がもっぱら真の所有者の権利を害する目的でその登記の欠缺を主張する場合には、そのような主張は信義に反し、認められない」ということを最判昭和43年8月2日は判示しました。
過去問でも「背信的悪意者に当たる場合は別論…」といった問題文は何度となく出てきてますよね？
「悪意者が/もっぱら真の所有者の権利を/害する目的で/その登記の欠缺を主張する」
問題のケースにあわせて書き換えましょう
「事情を知っているGが/もっぱら真の所有者Aの所有権を/害する目的で/A名義所有権登記がないことを主張する」。ぴったし当てはまってしまいました。
Gは「背信的悪意者」に当たるから保護しなくてよろしい。（信義に反し、認められない。）
という順序で、判断はつきます。
よく忘れがちになりますけど、民法1条2項（信義則）は大原則ですんで、元判例で「信義に反し」と出てくるのは裁判官の個人的感情の吐露そのままではありません。ここ結構重要です。
***
ここからは不登法絡むので戯言ですが
実際の順序として「背信的悪意者論」という判例に基づく学説が唱えられるより前に、不動産登記法5条2項の規定は存在しました。
全文転記します。
5条（登記がないことを主張できない第三者）
-1（略）
-2 他人のために登記を申請する義務を負う第三者は、その登記がないことを主張することができない。ただし、その登記の登記原因（登記の原因となる事実又は法律行為をいう。以下同じ）が自己の登記原因の後に生じたときは、この限りではない。
この規定がぱっと頭に浮かべばこの問題は済み、ですが、沿革の話をすれば、この元々あった登記規定の柱文を登記義務以外にも拡大させたのが「背信的悪意者」云々…という話です。なので、「背信的悪意者」ってどういう人のこと？を思い出して、慎重に当てはめていけば、民法の学習の範囲内で答えを出すことは可能です。
但書以下の話は
1月15日売買 F→A（同日Gに登記委任）
2月15日売買 F→G（同日G名義で登記）
は柱文（問題）のケースにあたるから認められないけれども
1月10日売買 F→G（2月10日G名義登記）
2月8日売買 F→A（同日Gに登記委任）
は1月10日の売買の自分宛ての登記義務をGは果たしただけだから、Aに対抗できるよ、というケースについて規定しています。
こんにちは。
naayoさんに補正はありませんが、MELOOWさんに一言コメントを。
文章をていねいに追うのもいいですが、言葉に捕らわれると逆に意味が分からなくなることもよくありますよ。目指すのは「完璧にわかる」ですけど、まずは「なんとなくわかる」でもいいから、状況をイメージできた方が理解は早いんじゃないでしょうか。
今回の文章は、「横領」という感じです。
Q3を「モノ」に例えると、「Fさんが、Aさんに渡してほしいと言ってGにモノを渡したが、GさんはAさんに渡さず、自分のものにした」ということです。
同じくA3は「Gさんは、Aさんに渡すはずのモノを自分のモノと主張はできない（ズル過ぎるから）。Aさんは、Gさんに対して自分のモノだと主張していい。」となります。
ちなみに、不動産登記法第5条をアッサリまとめると「通常は、登記をした方が裁判でも勝つ（所有権ゲットできる）。しかし、脅迫や詐欺、また背信的悪意者の場合は、登記があるからと言って”お前は登記をしてない。登記し終わった俺の勝ち！”というのはズル過ぎるので、それは許さん。たとえ登記してても許さん」ということです。
2.について、「自己契約」という言葉がでたあたり、まだ不十分かも。
あくまで、書類上は「FからGに譲渡」したことになってますよ。
状況は問題文からは不明ですが、たとえば「とても値上がりしそうな土地があり、所有者はFである。Aが、この土地の価値に気づき、Fと交渉して買い取った。名義変更は司法書士Gに頼んだところ、司法書士Gも”この土地なら高く売れる”と思い、Fに会った時に”Aよりも少し高く買うから、俺に売ってくれ”と言い、Fも了解したので、Aの依頼より先に自分（G)に名義変更した。Aが文句を言ったが、Gは”でも、登記名義（所有者）は僕になってるよね”と言った。ズルくないか？」という流れです。まあ、GがAの親で、子供より先に自分のものにした場合も、同じく考えます、ということですね。
と書いていたら、ケバブワゴンさんに先に書かれたので、どうしようかと思ったけど、長く書いて悔しいのでアップします。蛇足でゴメンｗ。それでは。
MELLOWさんの投稿に便乗して、投稿させてください。
この問題に関しては、私も一瞬あれれ？となってしまいました。
でも、皆さんのコメントを読んでしっかりと理解できたし、とても参考になりました。
特にKEN!さんの具体例つきの解説、とても分かりやすかったです。
ありがとうございました。
naayoさん
ケバブワゴンさん
KEN!さん
なるほど。
Fは悪気なくAとGに二重譲渡してしまい、
たまたまGがAから移転登記の委任を受けてしまった。
というヘンテコな読み間違えをしてました。
GはAから不動産登記の委任を受けたのに、
それを悪用して自分のものにしよううとしている背信的悪意者。
だから、Aは登記なくしてGに対抗できるということですね。
よくわかりました。
自己契約についても、知識が曖昧でした。
もっと勉強せねば！！
ありがとうございました。
追記
ヘンテコな読み間違えをしましたが、
この場合でもGは背信的悪意者になるってことですよね？
追記に関して
ケバブワゴンさんからの回答の、最後の部分を見てください。
二重譲渡なら必ず背信的悪意者というわけではなく、Aが譲渡を受けていることを知っていてあえて自分（G）に、という場合などが該当します。条件等は、これまたケバブワゴンさんが丁寧に書いているので、もう一度読み直してみてください。「背信的悪意者」というくらいで、ズルいと判断されるときだけ「登記の欠缺を主張できない」ということです。
KEN!さん
！！！書いてくださってました。
あたりまえと言ったら当たり前のことなんですが、
KEN!さんのおっしゃる通り言葉に捕らわれると迷走してしまいますね。
きをつけます。
ありがとうございました。
皆さん、ありがとうございます。
民法は、基本的には比較の学問です。つまり、紛争者のうち、どちらを助けるべきかを考える学問です。だとすると、自ずと答えは出て来るものと思われます。